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[이상한 통계]>[Petersburg's Paradox]: 이 좋은 걸 안해?
[Petersburg's Paradox]: 이 좋은 걸 안해?


St. Petersburg 게임은 간단합니다. 얼마간의 돈을 걸고 동전을 던져 시작합니다.
그래서 처음으로 동전의 앞면이 나오면 게임은 끝납니다.
그럼 이 도박꾼이 받는 돈은 어떻게 되는가 하면 n번째 시행에서 게임이 끝났다면
(즉 n번째 시행에서 처음으로 동전의 앞면이 나왔다면) 달러를 받게 됩니다.
그럼 처음 얼마를 베팅해야지 정당한(fair)한 게임이 되겠습니까?





예를 들어 100불 처음 걸었다고 합시다.
첫번째 던져서 앞면이 나왔다면 100불 잃고 2불을 땁니다. 그래서 전체적으로 98불 손해
두번째 던져서 처음으로 앞면이 나왔다면 100불 잃고 4불을 땁니다. 그래서 전체적으로 96불 손해
세번째 던져서 처음으로 앞면이 나왔다면 100불 잃고 8불을 땁니다. 그래서 전체적으로 92불 손해
…..





이런 식으로 게임이 진행되겠지요. 이런 게임에 여러분들은 많은 돈을 걸겠습니다.
수학적으로는 거의 무한대의 돈을 걸어도 여러분들이 유리합니다.
왜냐하면 처음 거는 돈은 배제하고 일단 따는 돈만 계산하면, 따는 돈을 X 라 하면 그 기대값은











여기서 는 k번째 시행에서 처음으로 동전이 나오는 확률, 소위 기하분포(Geometric distribution)의 확률 값입니다.

기대되는 따는 돈이 무한대이니 여러분이 도박에 거는 초기 판돈 역시 거의 무한대이야지
정당한 게임이라 할 수 있겠습니다. 그러나 거의 누구도 베팅해서 이 게임을 할려고 하는 사람이 없지요.
이런 역설을 St. Petersburg Paradox라 합니다.






이 역설에 대한 제대로 된 해설을 최초로 제공한 사람이 Daniel Bernoulli입니다.
경제학에서 나오는 효용(Utility)개념을 사용한 것이죠.
다 아시는 “한계 효용 체감의 법칙”을 가지고 설명을 시도 하였습니다.